MAT1841
Continuous Mathematics for
Computer Science
Lecture notes, Semester 2 2022
Contents
1 Vectors, Lines and Planes 2
1.1 Introduction to Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 Notation and definition . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 Linear independence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 Algebraic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Vector Dot Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Length of a vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2 Unit Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.3 Scalar projections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.4 Vector projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Vector Cross Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1 Interpreting the cross product . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.2 Right hand thumb rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Lines in 3-dimensional space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.1 Vector equation of a line . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5 Planes in 3-dimensional space . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5.1 Constructing the equation of a plane . . . . . . . . . . 19
1.5.2 Parametric equations for a plane . . . . . . . . . . . . 20
1.5.3 Vector equation of a plane . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.6 Systems of Linear Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.6.1 Examples of Linear Systems . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.6.2 A standard strategy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6.3 Points, lines and planes – intersections . . . . . . . . . 26
1.6.4 Points, lines and planes – distances . . . . . . . . . . . 28
1.6.5 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2 Matrices 34
2.1 Introduction – notation and operations . . . . . . . . . . . . . 34
2.1.1 Operations on matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1.2 Some special matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.1.3 Properties of matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.1.4 Inverses of square matrices . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2 Gaussian Elimination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
ii
2.2.1 Gaussian elimination strategy . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2.2 Exceptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3 Systems of equations using matrices . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.1 The augmented matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.4 Row echelon form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.4.1 Rank . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.4.2 Homogeneous systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.4.3 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.5 Matrix Inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.6 Matrix Transpose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.7 Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.7.1 Properties of determinants . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.7.2 Vector cross product using determinants . . . . . . . . 51
2.7.3 Cramer’s rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.8 Obtaining inverses using Gauss-Jordan elimination . . . . . . 52
2.8.1 Inverse – another method . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3 Calculus 55
3.1 Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.1.1 Rate of change . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.1.2 Definition of the derivative f ′(x) and the slope of a
tangent line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.1.3 Techniques of differentiation – rules . . . . . . . . . . . 58
3.2 Maximum and minimum of functions . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3 Differentiating inverse, circular and exponential functions . . 65
3.3.1 Inverse functions and their derivatives . . . . . . . . . 65
3.3.2 Exponential and logarithmic functions: ex and lnx . . 66
3.3.3 Derivatives of circular functions . . . . . . . . . . . . . 69
3.4 Higher order derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.5 Parametric curves and differentiation . . . . . . . . . . . . . . 77
3.5.1 Parametric curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.5.2 Parametric differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.6 Function approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.6.1 Introduction to power series . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.6.2 Power series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.6.3 Taylor series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.6.4 Derivation of Taylor polynomials from first principles 90
3.6.5 Taylor series centred at x 6= 0 . . . . . . . . . . . . . . 93
3.6.6 Cubic splines interpolation . . . . . . . . . . . . . . . 94
4 Integration 101
4.1 Fundamental theorem of calculus . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.1.1 Revision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.1.2 Fundamental Theorem of Calculus . . . . . . . . . . . 104
iii
4.2 Area under the curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.3 Trapezoidal rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5 Multivariable Calculus 111
5.1 Functions of several variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.1.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.1.2 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.1.3 Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.1.4 Alternative forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.2 Partial derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.2.1 First partial derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.3 The tangent plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.3.1 Geometric interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.3.2 Linear approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.4 Chain rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.5 Gradient and Directional Derivative . . . . . . . . . . . . . . 131
5.6 Second order partial derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.6.1 Taylor polynomials of higher degree . . . . . . . . . . 138
5.6.2 Exceptions: when derivatives do not exist . . . . . . . 141
5.7 Stationary points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5.7.1 Finding stationary points . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5.7.2 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.7.3 Minima, Maxima or Saddle point . . . . . . . . . . . . 145
5.7.4 Application of extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
1
Chapter 1
Vectors, Lines and Planes
1.1 Introduction to Vectors
1.1.1 Notation and definition
Common forms of vector notation are bold symbols (v), arrow notation (~v)
and tilde notation (
