数学 | Math 113 Takehome Assigment 3

Takehome Assigment 3 在这项作业中,我们建立了一些关于交换中素理想和最大理想的基本事实 整体环。在该分配中,所有环将是具有身份的交换环。 设φ:R→S为φ(1R)= 1S的交换单环之间的同态。 (a)让q是最理想的。证明φ-1(q)是R的素理想。 (b)假设φ是射影,且mS是最大理想值。证明φ1(m)为最大值 S的理想 (c)如果φ不具排斥性,请给出(b)部分的反例。 在课堂上,我们定义了一个环的良好乘法子集的分数环,即R的子集,该子集不包含零除数,并且在乘法下是封闭的。如果R是一元环,则可以更一般地定义这一点。如果将子集SR在乘法下关闭并且包含1,则将其定义为乘法子集。在本练习中,我们将描述分数S-1R的环。 (a)考虑子集{(a,b):a∈R,b∈S}R×R。证明: (a1,b1)(a2,b2)如果存在t∈S使得t(a1b2- b1a2)= 0, 是R上的等价关系。(a,b)的等价类将表示为ab。解释为什么S不包含零除数,那么这与类中定义的等价关系相同。 (b)令S-1R = {ab:a∈R,b∈S}是上述关系的等价类的集合。通过以下规则在S-1R上定义加法和乘法: a1 + a2 = a1b2 + a2b1 b1 b2 b1b2…

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